No decurso desta actividade intervêm dois métodos de resolução de problemas em geometria: o método sintético e o método das coordenadas. O objectivo geral é encontrar referenciais cartesianos que possam resultar em coordenadas "simples" para os vértices dos vários sólidos platónicos. Outras questões vão entretanto sendo propostas; para as distinguir do objectivo geral da actividade, são precedidas das palavras (questão suplementar). Tente apesar de tudo resolvê-las logo que são propostas. Não deixe de fazer esboços para apoiar os seus raciocínios. Por outro lado, tente justificar, partindo de resultados que admita como já demonstrados, as suas construções e conjecturas. 

 

 

No decurso da actividade vamos escolher referenciais cartesianos convenientes para obter expressões simples para os vértices de cada um dos poliedros regulares: cubo, octaedro, icosaedro e dodecaedro (aconselhamos a seguir esta ordem na pesquisa dos melhores referenciais). Escolher um referencial é escolher uma origem, três eixos (portanto com escolha do sentido positivo) coordenados mutuamente perpendiculares e uma unidade de medida. Pretendemos no caso presente que a origem das coordenadas seja o centro de cada um dos poliedros. 

1. Comece pelo cubo (de aresta 1) (faça esboços do cubo em perspectiva cavaleira) e depois a partir dele estude os casos do octaedro (por dualidade) e do tetraedro regular (inscreva um tetraedro regular no cubo). Escreva em cada um dos casos as coordenadas dos vértices para o referencial escolhido.

 

(questão suplementar) 2. Na figura ao lado partimos do cubo ABCDEFGH (aresta 1 cm) e considerámos os dois possíveis tetraedros regulares que se podem inscrever no cubo de modo que quatro dos vértices do tetraedro sejam também vértices do cubo. Obtemos assim a stella octangula, um sólido composto por dois tetradedros. Tome como unidade de volume o volume do pequeno tetraedro regular (será regular?) IJKF. 

a) Calcule (geometria analítica) o valor em centímetros cúbicos do volume deste tetraedro.

b) Calcule o valor, em unidades de volume, do volume do cubo e também do sólido que resulta da intersecção dos dois tetraedros grandes (branco e azul).

c) Tente resolver a alínea b) apenas por métodos sintéticos (sem recorrer às coordenadas).

 

3. Estude seguidamente o caso -- mais difícil -- do icosaedro (escolha do referencial e expressão da coordenadas dos vértices). Siga as seguintes sugestões:

a) Para compreender melhor a estrutura do icosaedro e determinar como deve colocar os eixos coordenados, comece por considerar o icosaedro constituído pela junção de três poliedros, como na figura seguinte:

 

 

Os três poliedros são duas pirâmides pentagonais de base regular e faces lateriais triângulos equiláteros e um antiprisma pentagonal (G/TA, p. 235). Prove que o comprimento da diagonal do pentágono (que é base das pirâmides) é a razão de ouro, , raíz positiva da equação , isto é,  . 

Nota: para mais informações sobre o número (ou razão de ouro) e o rectângulo de ouro consulte a Internet (vá por exemplo ao Math Forum e pesquise em golden ratio).

 

Munido desta informação, tente inscrever no icosaedro (de aresta 1) três rectângulos de ouro mutuamente perpendiculares e cuja intersecção seja o centro do icosaedro. Tome os planos destes três rectângulos como planos coordenados e escreva, a partir daqui, as coordenadas dos vértices do icosaedro.

 

(questão suplementar) 4. A alínea anterior deve ter-lhe sugerido um processo de construir um icosaedro a partir de três rectângulos de ouro em cartão com ranhuras convenientes... Una depois os vértices dos rectângulos com um elástico ou um cordel.

 

5. No caso do dodecaedro, seguiremos dois caminhos para determinar as coordenadas dos vértices.

 

a) Parta do icosaedro e considere o facto do dodecaedro ser o dual do icosaedro (vértices do dodecaedro são os centros das faces do icosaedro). Posto isto, a expressão das coordenadas do dodecaedro são quáse imediatas.

 

b) Observe um dodecaedro e nesse dodecaedro um dos vértices. Prove que desse vértice partem três segmentos congruentes (diagonais de faces do dodecaedro) mutuamente perpendiculares. Sendo assim, é fácil ver a partir daqui como podemos inscrever um cubo num dodecaedro. Sendo assim, pense na opreação inversa -- circunscrever um dodecaedro a um cubo. Note que isso equivale a construir seis "telhados de quatro águas" congruentes sobre as faces do cubo (observe a figura ao lado). A partir daqui tente deduzir as coordenadas do dodecaedro para o mesmo referencial escolhido para o cubo.